【极限的公式都有哪些】在数学中，极限是微积分和分析学的基础概念之一，广泛应用于函数、数列、级数等的研究中。掌握常见的极限公式，有助于快速解决相关问题。以下是对常见极限公式的总结，并以表格形式展示。
一、基本极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 常数极限 | $\lim_{x \to a} C = C$ | $C$ 为常数 |
| 多项式极限 | $\lim_{x \to a} x^n = a^n$ | $n$ 为自然数 |
| 分式极限（多项式） | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$ | 若 $\lim g(x) \neq 0$ |
| 三角函数极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 重要极限 |
| 指数函数极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 重要极限 |
| 对数函数极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 重要极限 |
二、无穷小与无穷大的比较
| 极限类型 | 表达式 | 说明 |
| 无穷小量 | $\lim_{x \to 0} x = 0$ | 无穷小量趋于零 |
| 无穷大量 | $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ | 正无穷大 |
| 无穷小乘无穷大 | $\lim_{x \to 0} x \cdot \frac{1}{x} = 1$ | 未定型，需进一步分析 |
三、洛必达法则适用情况
| 情况 | 表达式 | 应用条件 |
| 0/0 型 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ | $f(a) = g(a) = 0$ |
| ∞/∞ 型 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}$ | $f(x), g(x)$ 均趋于无穷 |
| 洛必达法则 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ | 可用于 0/0 或 ∞/∞ 型 |
四、常见极限表达式
| 极限表达式 | 结果 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ | 1 | 余弦函数在 0 处的值 |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | $e$ | 自然对数底数 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 利用泰勒展开或三角恒等式推导 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ | 1 | 与 $\frac{\sin x}{x}$ 类似 |
五、不定型极限处理方式
| 不定型 | 处理方法 | 示例 |
| 0/0 | 洛必达法则、因式分解、泰勒展开 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ |
| ∞/∞ | 除以最高次幂、洛必达法则 | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 - 1}$ |
| 0·∞ | 转换为 0/0 或 ∞/∞ | $\lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x$ |
| ∞ - ∞ | 合并表达式、通分 | $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)$ |
总结
极限是数学分析中的核心工具，掌握常见极限公式和处理方法对于理解函数行为、求导、积分等具有重要意义。通过结合代数变形、泰勒展开、洛必达法则等方式，可以有效解决各种极限问题。在实际应用中，应根据具体情况选择合适的计算方法，避免盲目套用公式。
