【数列求和公式】在数学中，数列的求和是一个常见的问题。根据数列的不同类型，求和的方法也有所不同。为了更清晰地展示各种数列的求和公式，以下将对常见数列的求和方式进行总结，并以表格形式呈现。

一、等差数列求和公式

等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，项数为 $ n $，则第 $ n $ 项为 $ a_n = a_1 + (n-1)d $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)

$$

或

$$

S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d

$$

二、等比数列求和公式

等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $（$ r \neq 1 $），项数为 $ n $，则第 $ n $ 项为 $ a_n = a_1 r^{n-1} $。

求和公式：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

当 $ r < 1 $ 时，若数列为无穷等比数列，则其和为：

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

三、自然数列求和公式

自然数列是首项为 1，公差为 1 的等差数列，即 $ 1, 2, 3, ..., n $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n(n+1)}{2}

$$

四、平方数列求和公式

平方数列是 $ 1^2, 2^2, 3^2, ..., n^2 $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

$$

五、立方数列求和公式

立方数列是 $ 1^3, 2^3, 3^3, ..., n^3 $。

求和公式：

$$

S_n = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2

$$

六、其他特殊数列

对于一些特殊的数列，如调和数列、斐波那契数列等，一般没有简单的通项公式，但可以通过递推或其他方法进行求和。

数列求和公式总结表

通过以上公式，可以快速计算不同类型的数列的和。掌握这些公式不仅有助于解决数学问题，还能提高逻辑思维能力和运算效率。