【数列前n项和公式】在数学中，数列的前n项和是研究数列性质的重要工具之一。根据数列的不同类型，其前n项和的计算方法也各不相同。以下是几种常见数列的前n项和公式及其总结。
一、等差数列前n项和公式
等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则第n项为 $ a_n = a_1 + (n-1)d $。
前n项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d
$$
或等价形式：
$$
S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}
$$
二、等比数列前n项和公式
等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $（$ r \neq 1 $），则第n项为 $ a_n = a_1 r^{n-1} $。
前n项和公式：
$$
S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
当 $ r = 1 $ 时，所有项都相等，此时：
$$
S_n = n a_1
$$
三、自然数前n项和公式
自然数数列即从1开始的连续整数序列：1, 2, 3, ..., n。
前n项和公式：
$$
S_n = \frac{n(n+1)}{2}
$$
四、平方数前n项和公式
平方数数列为：1², 2², 3², ..., n²。
前n项和公式：
$$
S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
五、立方数前n项和公式
立方数数列为：1³, 2³, 3³, ..., n³。
前n项和公式：
$$
S_n = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2
$$
六、其他常见数列前n项和
| 数列类型 | 前n项和公式 |
| 等差数列 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] $ |
| 等比数列 | $ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} $ |
| 自然数 | $ S_n = \frac{n(n+1)}{2} $ |
| 平方数 | $ S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ |
| 立方数 | $ S_n = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 $ |
| 常数数列 | $ S_n = n \cdot a $ |
总结
数列前n项和的计算是数学分析中的基础内容，掌握不同数列的求和公式有助于快速解决实际问题。无论是等差数列、等比数列，还是自然数、平方数、立方数等特殊数列，都有对应的求和公式。理解这些公式并灵活运用，是提升数学能力的重要途径。
