在概率论中，两点分布是一种离散型随机变量的概率分布，通常用来描述只有两种可能结果的试验，例如抛硬币实验中的正面或反面。两点分布也被称为伯努利分布，其参数为\(b\)，表示成功（如正面）发生的概率。

两点分布的定义

假设随机变量\(X\)服从两点分布\(B(1, b)\)，则随机变量\(X\)的取值只能是0或1。具体来说：

- 当\(X = 1\)时，表示事件成功发生；

- 当\(X = 0\)时，表示事件失败发生。

两点分布的概率质量函数（PMF）可以表示为：

\[P(X = x) = b^x (1-b)^{1-x}, \quad x = 0, 1\]

期望的计算

对于一个随机变量\(X\)，其期望值\(E[X]\)定义为所有可能取值与其对应概率的乘积之和。对于两点分布\(B(1, b)\)，我们有：

\[E[X] = \sum_{x=0}^{1} x \cdot P(X = x)\]

代入两点分布的概率质量函数：

\[E[X] = 0 \cdot (1-b) + 1 \cdot b = b\]

因此，两点分布\(B(1, b)\)的期望值为\(b\)。

方差的计算

方差\(Var(X)\)衡量的是随机变量的取值与其期望值之间的偏离程度，定义为：

\[Var(X) = E[(X - E[X])^2]\]

首先计算\(E[X^2]\)：

\[E[X^2] = \sum_{x=0}^{1} x^2 \cdot P(X = x)\]

代入两点分布的概率质量函数：

\[E[X^2] = 0^2 \cdot (1-b) + 1^2 \cdot b = b\]

然后利用方差公式：

\[Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2\]

代入已知结果：

\[Var(X) = b - b^2 = b(1-b)\]

因此，两点分布\(B(1, b)\)的方差为\(b(1-b)\)。

结论

总结来说，服从两点分布\(B(1, b)\)的随机变量\(X\)的期望值为\(b\)，方差为\(b(1-b)\)。这些性质使得两点分布在实际应用中非常有用，尤其是在处理二元分类问题或者简单的成功/失败实验时。