【三角函数公式】三角函数是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于几何、物理、工程等领域。它主要研究角度与边长之间的关系，常见的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）以及它们的倒数函数——余切（cot）、正割（sec）、余割（sec）。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本定义
在直角三角形中，设θ为一个锐角，其对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
- sinθ = 对边 / 斜边 = a / c
- cosθ = 邻边 / 斜边 = b / c
- tanθ = 对边 / 邻边 = a / b
- cotθ = 邻边 / 对边 = b / a
- secθ = 斜边 / 邻边 = c / b
- cscθ = 斜边 / 对边 = c / a
二、常用三角恒等式
| 公式 | 表达式 |
| 基本恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切与余切关系 | tanθ = sinθ / cosθ，cotθ = cosθ / sinθ |
| 正割与余割关系 | secθ = 1 / cosθ，cscθ = 1 / sinθ |
| 平方关系 | 1 + tan²θ = sec²θ，1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（用于角度转换）
| 角度变换 | 公式 |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| tan(π - θ) | -tanθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| tan(π + θ) | tanθ |
| sin(-θ) | -sinθ |
| cos(-θ) | cosθ |
| tan(-θ) | -tanθ |
四、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin(A ± B) | sinA cosB ± cosA sinB |
| cos(A ± B) | cosA cosB ∓ sinA sinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin2θ | 2 sinθ cosθ |
| cos2θ | cos²θ - sin²θ 或 2cos²θ - 1 或 1 - 2sin²θ |
| tan2θ | 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] 或 (sinθ)/(1 + cosθ) |
七、积化和差与和差化积公式
| 类型 | 公式 |
| 积化和差 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] cosA - cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
总结
三角函数公式种类繁多，但掌握基本定义和常用恒等式是学习和应用的关键。通过理解这些公式之间的关系，可以更高效地解决与角度、周期性、波动等相关的问题。在实际应用中，合理选择合适的公式能够简化计算过程，提高解题效率。
