【用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵】在矩阵运算中，求一个矩阵的逆矩阵是一个非常重要的操作。当矩阵是可逆的时候，可以通过初等行变换（或列变换）的方法来求出其逆矩阵。本文将通过具体例子，总结使用初等变换法求矩阵逆矩阵的基本步骤，并以表格形式展示过程和结果。
一、基本原理
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A $，若其行列式不为零（即 $
二、步骤总结
以下是使用初等变换法求逆矩阵的通用步骤：
| 步骤 | 操作说明 | |
| 1 | 写出增广矩阵 $ [A | I] $ |
| 2 | 对增广矩阵进行初等行变换，使得左侧矩阵变为单位矩阵 | |
| 3 | 若成功变为单位矩阵，则右侧即为 $ A^{-1} $ | |
| 4 | 若无法变为单位矩阵，则原矩阵不可逆 |
三、示例演示
以下以一个具体的 $ 2 \times 2 $ 矩阵为例，展示如何使用初等变换法求其逆矩阵。
原始矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}
$$
步骤 1：构造增广矩阵
$$
| A | I] = \left[\begin{array}{cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ \end{array}\right |
$$
步骤 2：初等行变换
- 第一步：用第1行消去第2行的第一个元素
$ R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 $
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & -3 & 1 \\
\end{array}\right
$$
- 第二步：将第二行除以 -2
$ R_2 \leftarrow \frac{1}{-2} R_2 $
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\
\end{array}\right
$$
- 第三步：用第2行消去第1行的第二个元素
$ R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 $
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\
\end{array}\right
$$
步骤 3：得到逆矩阵
此时，左边已变为单位矩阵，右边即为逆矩阵：
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\
\end{bmatrix}
$$
四、总结表格
| 矩阵 A | 初等变换过程 | 得到的逆矩阵 A⁻¹ |
| $ \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} $ | 增广矩阵 → 行变换 → 单位矩阵 | $ \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix} $ |
五、注意事项
- 在实际计算中，应尽量避免分数运算，可以适当调整行顺序或使用整数倍的行变换。
- 若在变换过程中发现某一行全为零，则说明原矩阵不可逆。
- 初等变换法适用于所有可逆矩阵，但计算量较大时，建议使用其他方法如伴随矩阵法或软件辅助计算。
通过上述步骤和示例，我们可以清晰地理解如何利用初等变换法求解矩阵的逆矩阵。此方法不仅逻辑清晰，而且具有较强的实用性，是线性代数中的基础技能之一。
