【等差数列前n项和】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差为定值，这个定值称为公差。等差数列的前n项和是求解该数列前n项总和的问题，是数列学习中的重要内容之一。
一、等差数列的基本概念
- 首项（a₁）：数列的第一个数。
- 公差（d）：相邻两项之间的差。
- 第n项（aₙ）：数列的第n个数，计算公式为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
- 前n项和（Sₙ）：从首项到第n项的所有数的总和。
二、等差数列前n项和的公式
等差数列前n项和的计算公式有两种常见形式：
1. 基本公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
其中，$ a_n $ 是第n项。
2. 另一种形式（使用首项和公差）：
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
这两个公式本质上是一致的，只是表达方式不同，可以根据题目给出的条件灵活选择。
三、典型例题解析
| 题目 | 已知条件 | 解法 | 结果 |
| 1 | 首项a₁=3，公差d=2，求前5项和 | 使用公式 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_5 = \frac{5}{2}[2×3 + (5 - 1)×2] = \frac{5}{2}×(6 + 8) = \frac{5}{2}×14 = 35 $ |
| 2 | 首项a₁=10，末项a₅=20，求前5项和 | 使用公式 $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_5 = \frac{5}{2}(10 + 20) = \frac{5}{2}×30 = 75 $ |
| 3 | 首项a₁=5，公差d=3，求前10项和 | 使用公式 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_{10} = \frac{10}{2}[2×5 + (10 - 1)×3] = 5×(10 + 27) = 5×37 = 185 $ |
四、总结
等差数列的前n项和是数列学习中的基础内容，掌握其计算方法对于解决实际问题具有重要意义。通过理解等差数列的性质和公式的推导过程，可以更深入地掌握数列的相关知识，并在实际应用中灵活运用。
| 关键点 | 内容 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为定值的数列 |
| 公式1 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
| 公式2 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ |
| 应用 | 可用于求和、分析增长趋势等 |
| 注意事项 | 确保正确识别首项和公差，避免计算错误 |
通过不断练习和应用，可以提高对等差数列的理解和运用能力。
