【导数公式表】在微积分的学习过程中，导数是理解函数变化率的重要工具。掌握常见的导数公式对于求解各类数学问题具有重要意义。以下是对常见函数的导数进行系统整理和总结，帮助学习者快速查阅与应用。
一、基本初等函数的导数
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（$ n \in \mathbb{R} $） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数及其反函数的导数
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、复合函数与导数法则
在实际应用中，很多函数是由多个基本函数组合而成的，因此需要掌握一些导数的基本法则：
- 和差法则：若 $ f(x) = u(x) \pm v(x) $，则 $ f'(x) = u'(x) \pm v'(x) $
- 乘积法则：若 $ f(x) = u(x)v(x) $，则 $ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $
- 商法则：若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则 $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $
- 链式法则：若 $ f(x) = g(h(x)) $，则 $ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $
四、高阶导数与隐函数导数
除了基本的导数外，还有一些特殊情况需要注意：
- 高阶导数：如 $ f''(x) $ 表示对 $ f(x) $ 的导数再求导一次。
- 隐函数求导：当函数以隐式形式给出时，需通过两边对 $ x $ 求导并解出 $ y' $。
五、小结
导数是微积分的核心内容之一，熟练掌握各类函数的导数公式有助于提高解题效率和理解能力。本文通过对基本初等函数、三角函数、复合函数以及导数法则的归纳整理，为学习者提供了一份清晰、实用的导数公式表，便于复习与应用。建议结合具体例题练习，进一步加深对导数概念的理解。
