【导数公式大全】在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念，它用于描述函数的变化率。掌握常见的导数公式，不仅有助于解题，还能提高对函数性质的理解。以下是对常见导数公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- $ y = \sin(3x) $，则 $ y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- $ y = (x^2 + 1)^5 $，则 $ y' = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $
三、高阶导数
对于某些函数，可以求出其二阶、三阶甚至更高阶的导数：
- $ f(x) = x^n $ 的 n 阶导数为 $ f^{(n)}(x) = n! $
- $ f(x) = e^x $ 的任意阶导数都是 $ e^x $
- $ f(x) = \sin x $ 的四阶导数仍为 $ \sin x $，周期性变化
四、隐函数与参数方程的导数
- 隐函数：设 $ F(x, y) = 0 $，则 $ \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y} $
- 参数方程：设 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} $
五、常用导数公式小结
| 类型 | 公式 |
| 常数函数 | $ C' = 0 $ |
| 幂函数 | $ (x^n)' = nx^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ (a^x)' = a^x \ln a $，$ (e^x)' = e^x $ |
| 对数函数 | $ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} $，$ (\ln x)' = \frac{1}{x} $ |
| 三角函数 | $ (\sin x)' = \cos x $，$ (\cos x)' = -\sin x $，$ (\tan x)' = \sec^2 x $ |
| 反三角函数 | $ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $，$ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $，$ (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} $ |
结语
导数是微积分的核心内容之一，熟练掌握各种函数的导数公式，不仅能提升解题效率，也能加深对数学规律的理解。建议在学习过程中多做练习，结合图像理解导数的意义，从而更好地掌握这一工具。
