【一个扇形的弧长是20 pi 厘米,面积是240 pi 平方厘米,则扇形的圆心角】在几何中，扇形是一个由两条半径和一段圆弧所围成的图形。要计算扇形的圆心角，通常需要结合其弧长和面积这两个已知条件。
一、基本公式回顾
1. 弧长公式：
$$
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
$$
其中，$ L $ 是弧长，$ \theta $ 是圆心角（单位为度），$ r $ 是半径。
2. 面积公式：
$$
A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
$$
其中，$ A $ 是扇形面积。
二、解题步骤
我们已知：
- 弧长 $ L = 20\pi $ 厘米
- 面积 $ A = 240\pi $ 平方厘米
根据弧长公式，可得：
$$
20\pi = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
$$
两边同时除以 $ \pi $，得到：
$$
20 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2r \quad \text{（式1）}
$$
根据面积公式，可得：
$$
240\pi = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
$$
同样除以 $ \pi $，得到：
$$
240 = \frac{\theta}{360^\circ} \times r^2 \quad \text{（式2）}
$$
将式1中的 $ \frac{\theta}{360^\circ} $ 表达为：
$$
\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{20}{2r} = \frac{10}{r}
$$
代入式2：
$$
240 = \frac{10}{r} \times r^2 = 10r
$$
解得：
$$
r = 24 \text{ 厘米}
$$
再代入式1求 $ \theta $：
$$
20 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \times 24 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 48
$$
解得：
$$
\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{20}{48} = \frac{5}{12}
$$
所以：
$$
\theta = \frac{5}{12} \times 360^\circ = 150^\circ
$$
三、总结
通过分析已知的弧长和面积，我们可以推导出扇形的半径和圆心角。整个过程主要依赖于对弧长和面积公式的灵活应用。
| 已知量 | 数值 |
| 弧长 $ L $ | $ 20\pi $ 厘米 |
| 面积 $ A $ | $ 240\pi $ 平方厘米 |
| 半径 $ r $ | 24 厘米 |
| 圆心角 $ \theta $ | $ 150^\circ $ |
四、结论
该扇形的圆心角为 150度。这个结果符合几何学的基本原理，并且通过公式推导得到了一致的结果。
