【等比数列的性质】等比数列是数列中的一种重要类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。理解等比数列的性质，有助于我们更高效地解决相关问题。以下是对等比数列主要性质的总结。
一、基本定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = r \quad (r \neq 0)
$$
则该数列为等比数列，其中 $ r $ 称为公比。
二、等比数列的主要性质总结
| 性质编号 | 性质名称 | 具体描述 |
| 1 | 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 2 | 任意两项之间的关系 | $ a_m = a_n \cdot r^{m-n} $（$ m > n $） |
| 3 | 等比中项 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $，且 $ b = \pm \sqrt{ac} $ |
| 4 | 连续三项的关系 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $ |
| 5 | 前 $ n $ 项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） |
| 6 | 当 $ r = 1 $ 时 | 数列为常数列，$ S_n = a_1 \cdot n $ |
| 7 | 与等差数列的对比 | 等比数列中相邻项的商为定值；等差数列中相邻项的差为定值 |
| 8 | 递推关系 | $ a_{n+1} = a_n \cdot r $ |
三、应用示例
例如，已知等比数列的首项为 $ a_1 = 2 $，公比为 $ r = 3 $，则：
- 第5项：$ a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 162 $
- 前3项和：$ S_3 = 2 \cdot \frac{1 - 3^3}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-26}{-2} = 26 $
四、注意事项
- 公比 $ r $ 不可以为0，否则数列将失去意义。
- 若 $ r > 1 $，数列递增；若 $ 0 < r < 1 $，数列递减；若 $ r < 0 $，数列为摆动数列。
- 在实际应用中，等比数列常用于复利计算、人口增长、病毒传播等问题中。
通过掌握这些性质，我们可以更灵活地处理等比数列的相关问题，并在数学学习和实际问题中加以应用。
