【一个扇形的弧长是20派,面积是240派,则扇形半径是。】在几何学习中，扇形是一个常见的图形，它是由圆心角、两条半径和一段圆弧围成的区域。题目给出一个扇形的弧长为 $ 20\pi $，面积为 $ 240\pi $，要求求出该扇形的半径。
我们可以通过扇形的弧长公式和面积公式来推导出半径的值。以下是详细的计算过程与结果总结。
一、公式回顾
1. 弧长公式：
$$
l = \theta r
$$
其中，$ l $ 是弧长，$ \theta $ 是圆心角（以弧度为单位），$ r $ 是半径。
2. 面积公式：
$$
A = \frac{1}{2} \theta r^2
$$
其中，$ A $ 是扇形面积，$ \theta $ 是圆心角，$ r $ 是半径。
二、代入已知数据
已知：
- 弧长 $ l = 20\pi $
- 面积 $ A = 240\pi $
由弧长公式得：
$$
20\pi = \theta r \quad \text{（1）}
$$
由面积公式得：
$$
240\pi = \frac{1}{2} \theta r^2 \quad \text{（2）}
$$
三、联立方程求解
从方程（1）中可得：
$$
\theta = \frac{20\pi}{r}
$$
将 $ \theta $ 代入方程（2）：
$$
240\pi = \frac{1}{2} \cdot \frac{20\pi}{r} \cdot r^2
$$
化简：
$$
240\pi = \frac{1}{2} \cdot 20\pi \cdot r
$$
$$
240\pi = 10\pi r
$$
两边同时除以 $ 10\pi $：
$$
r = \frac{240\pi}{10\pi} = 24
$$
四、最终答案总结
| 已知条件 | 数值 |
| 扇形弧长 | $ 20\pi $ |
| 扇形面积 | $ 240\pi $ |
| 扇形半径 | 24 |
五、结论
通过联立弧长公式和面积公式，可以得出该扇形的半径为 24。这个结果符合题目的所有已知条件，验证了计算过程的正确性。在实际应用中，掌握这些基本公式对于解决类似几何问题非常有帮助。
