【导数求导公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的导数求导公式，有助于快速计算函数的导数，提高解题效率。本文将对常见的导数求导公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本求导公式
以下是一些基础的初等函数的导数公式：
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、导数运算法则
除了基本函数的导数外，还需要掌握一些常用的导数运算规则：
| 法则名称 | 公式表达 |
| 和差法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ |
| 积法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $（$ g \neq 0 $） |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、高阶导数与隐函数求导
对于复杂函数，有时需要求高阶导数或使用隐函数求导法：
- 高阶导数：如 $ f''(x) $ 表示对原函数再求一次导。
- 隐函数求导：若 $ y $ 是由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所定义的隐函数，则通过两边对 $ x $ 求导并解出 $ \frac{dy}{dx} $。
四、常见复合函数导数
以下是一些常见的复合函数的导数：
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = \sin(u) $（u=u(x)） | $ f'(x) = \cos(u) \cdot u' $ |
| $ f(x) = \ln(u) $（u=u(x)） | $ f'(x) = \frac{u'}{u} $ |
| $ f(x) = e^{u} $（u=u(x)） | $ f'(x) = e^u \cdot u' $ |
| $ f(x) = \arcsin(u) $（u=u(x)） | $ f'(x) = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos(u) $（u=u(x)） | $ f'(x) = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}} $ |
五、小结
导数是数学分析中的核心概念之一，掌握其基本公式和运算法则是学习微积分的基础。通过熟练运用这些公式和法则，可以更高效地解决实际问题。建议在学习过程中多做练习，逐步提升对导数的理解和应用能力。
注：本文内容基于标准微积分教材整理，适用于高中及大学初学者，旨在帮助读者系统掌握导数的基本知识。
